Tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thị (Dijikstra)

Tóm Tắt

Dẫn nhập

Trong bài học trước, chúng ta đã cùng nhau đi tìm hiểu về thuật toán Floyd-Warshall trong tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thị. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu về một thuật toán có thể coi là thuật toán phổ biến nhất
trong tìm kiếm đường đi ngắn nhất. Để biết cụ thể, hãy cùng nhau bắt đầu bài học nào!

Nội dung

Để có thể tiếp thu bài học này một cách tốt nhất, các bạn nên có những kiến thức cơ bản về:

Trong bài học ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về:

Thuật toán Dijkstra

Thuật toán Dijkstra

Bài toán đặt ra

Ta có một bài toán như sau:

Cho một đồ thị có hướng gồm $n$ đỉnh (đánh số từ 1 đến
$n$ ), $m$ cạnh có hướng và có trọng số là số nguyên không âm. Cho một đỉnh
$s$ , hãy tìm độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh
$s$ đến tất cả các đỉnh còn lại. Nếu như không tồn tại đường đi giữa hai đỉnh, in ra -1.

Input:

$1$
Dòng

$n, m, s$

: Gồm 3 số nguyên

$1\leq n, m\leq 10^{5}, 1 \leq s\leq n$

lần lượt thể hiện cho số đỉnh của đồ thị, số cạnh của đồ thị và đỉnh yêu cầu
$2_{\cdot \cdot \cdot }m+1$
Dòng

$u,v,w$

: Mỗi dòng gồm 3 số nguyên

$u$

thể hiện một cạnh có hướng nối từ đỉnh

$v$

đến đỉnh

$w(1\leq u, v\leq n, 0\leq w \leq 10^{9})$

và có trọng số

Output:

$m$
Gồm

$i$

dòng, dòng thứ

$s$

thể hiện độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh

$i$

đến đỉnh

Ví dụ:

Input
Output

7 8 1

1 2 4

1 3 5

1 4 2

4 2 1

4 6 4

3 5 3

6 5 1

1 5 8

-1

Giải thích ví dụ:

Đây là đồ thị minh hoạ cho ví dụ trên

Dijkstra

Ý tưởng

Ý tưởng của Dijkstra về cơ bản khá giống với thuật toán Floyd. Với một cạnh nối liền hai đỉnh
$u$ và
$v$ , ta sẽ so sánh độ dài đường đi trước đây
$s\rightarrow v$ với đường
$s\rightarrow v \rightarrow v$ .

Tại mỗi bước, ta sẽ chọn ra một đỉnh $u$ mà ta biết chắc chắn đường đi từ
$s\rightarrow u$ là đường đi ngắn nhất. Sau đó, ta sẽ xét tất cả các đỉnh
$v$ mà có cạnh liên kết trực tiếp
$u\rightarrow v$ rồi tối ưu đường đi
$s\rightarrow v$ dựa trên đường đi
$s\rightarrow u$ .

Cách cài đặt

Trước hết, để thể hiện một cạnh, ta sẽ sử dụng các
vector với kiểu dữ liệu
pair<int, int>. pair là một cấu trúc cho phép ta lưu trữ hai phần tử. Ta có thể truy cập vào 2 phần tử của
pair thông qua hai phương thức
first và second.

Ví dụ:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    pair<int, int> myPair[2];
    // Có 2 cách khởi tạo pair
    myPair[0] = make_pair(1, 2);
    myPair[1] = {2, 3};

    cout << myPair[0].first << " " << myPair[0].second << endl;
    // Kết quả: 1 2

    return 0;
}

Ta sẽ cần khởi tạo hai mảng với ý nghĩa như sau:

dist[u]

: độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh nguồn
s đến đỉnh u. Ban đầu

dist[u] = ∞

với mọi
u, riêng dist[s] = 0
mark[u]

: đánh dấu đỉnh
u đã được xét hay chưa. Ban đầu các phần tử trong mảng có giá trị

false

Lưu ý: Trong máy tính không tồn tại khái niệm ∞ (vô cùng). Do đó, mỗi khi viết ∞, ta sẽ hiểu đây là một giá trị đủ lớn để lớn hơn giá trị lớn nhất có thể của mảng đó.

==> Trong ví dụ trên, ta thấy có tối đa $10^{5}$ cạnh, mỗi cạnh có trọng số không quá
$10^{9}$ nên độ dài một đường đi không quá
$10^{14}$ . Giá trị
$\infty$ khi này có thể là bất cứ giá trị nào lớn hơn hoặc bằng
$10^{14}$ .

Thuật toán sẽ diễn ra như sau:

Chọn một đỉnh u sao cho
mark[u] = false và dist[u] nhỏ nhất
Với đỉnh u mà ta đã chọn ở trên, ta sẽ xét các đỉnh
v có cạnh nối trực tiếp từ u. Nếu
dist[u] + (độ dài cạnh u-v) < dist[v], hãy có nghĩa là độ dài đường đi từ đỉnh
s đến đỉnh v thông qua đỉnh
u ngắn hơn đường đi hiện tại từ đỉnh s đến đỉnh
v thì ta sẽ cập nhật lại dist[v] = dist[u] + (độ dài cạnh u-v)
Khi xét xong tất cả các đỉnh có cạnh nối trực tiếp từ
u, đánh dấu mark[u] = true tức là đỉnh
u đã xử

lý

xong.

Minh hoạ

Mình sẽ minh họa thuật toán bằng một đồ thị cơ bản sau với đỉnh nguồn là đỉnh 1:

Dijkstra

Đầu tiên,

dist = [0, ∞, ∞, ∞]

và
mark = [0, 0, 0, 0] (ta coi 0 là false và 1 là true).
Ta chọn u = 1 do
dist[1] = 0 nhỏ nhất và thoả mãn mark[1] = 0. Xét các đỉnh
v có cạnh nối trực tiếp từ đỉnh 1.
- Xét v = 2, ta thấy
  dist[1] + độ dài cạnh (1, 2) = 3 < dist[2] = ∞ nên dist[2] = 3
- Xét v = 3, ta thấy
  dist[1] + độ dài cạnh (1, 3) = 6 < dist[3] = ∞ nên dist[3] = 6

- Do không còn đỉnh nối từ đỉnh 1 nên ta kết thúc xét đỉnh 1 và đánh dấu
  mark[1] = 1
Khi này,

dist = [0, 3, 6, ∞]

và
mark = [1, 0, 0, 0]
Ta chọn u = 2 do
dist[2] = 3 nhỏ nhất và thoả mãn mark[2] = 0. Xét các đỉnh
v có cạnh nối trực tiếp từ đỉnh 2.
- Xét v = 3, ta thấy
  dist[2] + độ dài cạnh (2, 3) = 4 < dist[3] = 6 nên dist[3] = 4
- Xét v = 4, ta thấy
  dist[2] + độ dài cạnh (2, 4) = 10 < dist[4] = ∞ nên dist[4] = 10
- Do không còn đỉnh nối từ đỉnh 2 nên ta kết thúc xét đỉnh 2 và đánh dấu
  mark[2] = 1
Khi này, dist = [0, 3, 4, 10] và
mark = [1, 1, 0, 0]
Ta chọn u = 3 do
dist[3] = 4 nhỏ nhất và thoả mãn mark[3] = 0. Xét các đỉnh
v có cạnh nối trực tiếp từ đỉnh 3.
- Xét v = 4, ta thấy
  dist[3] + độ dài cạnh (3, 4) = 8 < dist[4] = 10 nên dist[4] = 8
- Do không còn đỉnh nối từ đỉnh 3 nên ta kết thúc xét đỉnh 3 và đánh dấu
  mark[3] = 1
Khi này, dist = [0, 3, 4, 8] và
mark = [1, 1, 1, 0]
Ta chọn u = 4 do
dist[4] = 0 nhỏ nhất và thoả mãn mark[4] = 0. Xét các đỉnh
v có cạnh nối trực tiếp từ đỉnh 4.
- Do không còn đỉnh nối từ đỉnh 4 nên ta kết thúc xét đỉnh 4 và đánh dấu
  mark[4] = 1
Do tất cả các đỉnh đã được đánh dấu nên thuật toán kết thúc và ta thu được
dist = [0, 3, 4, 8]

Code cơ bản

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MaxN = 1 + 1e2;
const ll INF = 1e18;

int n, m, s;
bool mark[MaxN];
ll dist[MaxN];
vector<pair<int, int>> adj[MaxN];

void Dijkstra(int s){
    fill(dist + 1, dist + n + 1, INF);
    dist[s] = 0;

    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
        int v = -1;
        for(int j = 1 ; j <= n ; ++j){
            if(!mark[j] && (v == -1 || dist[j] < dist[v])) v = j;
        }
        if(v == -1) break;
        mark[v] = 1;
        for(auto u : adj[v]){
            if(mark[u.first]) continue;
            dist[u.first] = min(dist[u.first], dist[v] + u.second);
        }
    }
}

int main(){
    freopen("CTDL.inp","r",stdin);
    freopen("CTDL.out","w",stdout);
    cin >> n >> m >> s;
    for(int i = 0 ; i < m ; ++i){
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
    }
    Dijkstra(s);
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
        if(dist[i] == INF) cout << -1 << endl;
        else cout << dist[i] << endl;
    }

    return 0;
}

Độ phức tạp

Ta thấy trong đoạn code trên, ta có một vòng lặp ngoài cùng có độ phức tạp
$O(n)$ . Trong vòng lặp đó lại tồn tại 2 vòng lặp con. Vòng lặp thứ nhất để tìm ra đỉnh có
dist[u] nhỏ nhất sẽ mất độ phức tạp $O(n)$ . Tuy nhiên, vòng lặp thứ hai để tìm các đỉnh có cạnh kề với đỉnh
u sẽ chỉ mất $O(m)$ trong
cả bài toán. Lí do là vì mỗi cạnh sẽ chỉ được duyệt qua duy nhất 1 lần.

Do đó, độ phức tạp tổng thể của chương trình là $O(n^{2} +m)$ .

Code cải tiến

Ý tưởng

Ta thấy với độ phức tạp trên thì bài toán vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn và lời giải sẽ cần được tối ưu thêm. Bây giờ hãy cùng xem xét các yếu tố có thể tối ưu được của bài toán.

Vòng lặp dùng để duyệt và xét tất cả các cạnh sẽ luôn phải xảy ra. Do đó, vòng lặp này không thể tối ưu thêm nữa.

Ta sẽ xét đến vòng lặp dùng để tìm ra đỉnh u có
dist[u] nhỏ nhất. Ta thấy ngay việc dùng vòng lặp để tìm ra phần tử nhỏ nhất trong một tập hợp là một điều khá “ngu ngốc”. Ở những bài học trước, mình đã giới thiệu cho các bạn về một cấu trúc dữ liệu có thể tìm ra phần tử nhỏ nhất
nhanh chóng. Các bạn có còn nhớ nó không? Nó chính là priority_queue
đó.

Ta sẽ dùng priority_queue
lưu trữ các pair<long long,int>, trong đó giá trị
first là độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh s đến đỉnh
u, giá trị second là đỉnh u. Khi
priority_queue so sánh các
pair<> nói chung thì nó sẽ so sánh giá trị
first trước rồi mới đến giá trị second. Do đó ta để độ dài đường đi ở giá trị
first vì khi đó đỉnh có dist[] nhỏ nhất sẽ được lấy ra trước.

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MaxN = 1 + 1e2;
const ll INF = 1e18;

int n, m, s;
bool mark[MaxN];
ll dist[MaxN];
vector<pair<int, int>> adj[MaxN];

void Dijkstra(int s){
    fill(dist + 1, dist + n + 1, INF);
    dist[s] = 0;
    priority_queue<pair<ll, int>, vector<pair<ll, int>>, greater<pair<ll,int>>> pq;
    pq.push({0, s});
    while(!pq.empty()){
        int u = pq.top().second;
        pq.pop();
        if(mark[u]) continue;
        mark[u] = true;
        for(auto e : adj[u]){
            int v = e.first;
            ll w = e.second;
            if(dist[v] > dist[u] + w){
                dist[v] = dist[u] + w;
                pq.push({dist[v], v});
            }
        }
    }
}

int main(){
    freopen("CTDL.inp","r",stdin);
    freopen("CTDL.out","w",stdout);
    cin >> n >> m >> s;
    for(int i = 0 ; i < m ; ++i){
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        adj[u].push_back({v, w});
    }
    Dijkstra(s);
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i){
        if(dist[i] == INF) cout << -1 << endl;
        else cout << dist[i] << endl;
    }

    return 0;
}

Độ phức tạp

Khi này, độ phức tạp của thuật toán sẽ giảm còn $O(m \times logn)$ .

Vấn đề kì sau

Để có thể chuẩn bị tốt hơn cho bài học kế tiếp, mình muốn đặt ra cho các bạn một câu hỏi:

Ở đề bài mình nêu ở trên, các cạnh đều có trọng số không âm. Điều gì có thể sẽ xảy ra với thuật toán Dijkstra nếu các cạnh có trọng số âm?

Kết luận

Qua bài này chúng ta đã nắm về Tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thị
với thuật toán Dijkstra.

Bài sau chúng ta sẽ tìm hiểu về Tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thị
với thuật toán Bellman-Ford.

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết. Hãy để lại bình luận hoặc góp ý của mình để phát triển bài viết tốt hơn. Đừng quên “Luyện tập – Thử thách – Không ngại khó”.

Thảo luận

Nếu bạn có bất kỳ khó khăn hay thắc mắc gì về khóa học, đừng ngần ngại đặt câu hỏi trong phần bên dưới hoặc trong mục HỎI & ĐÁP trên thư viện Howkteam.com để nhận được sự hỗ trợ từ cộng đồng.

Tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thị (Dijikstra) | How Kteam

Dẫn nhập

Nội dung

Thuật toán Dijkstra

Bài toán đặt ra

Ý tưởng

Cách cài đặt

Minh hoạ

Code cơ bản

Code

Độ phức tạp

Code cải tiến

Ý tưởng

Code

Độ phức tạp

Vấn đề kì sau

Kết luận

Thảo luận

mtoplist