Đạo hàm giá trị tuyệt đối của |x| là gì?

Bạn cũng hoàn toàn có thể sử dụng công thức đạo hàm theo định nghĩa chuẩn để tính đạo hàm của hàm số y = | x | ,
USD $ \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { f ( x + \ Delta x ) – x } { \ Delta x } $ $
Thay giá trị | x | vào, đạo hàm của y sẽ được tính bằng ,

$$y’ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|x + \Delta x| – |x|}{\Delta x} \hspace{1cm} (1)$$

Nhìn vào biểu thức đạo hàm trên, bạn hoàn toàn có thể thấy rằng đạo hàm sẽ không xác lập tại vị trí $ \ Delta x = 0 $, do tại hàm số y = | x | là một hàm số không liên tục và có dạng ,
USD USD y = \ begin { cases } x và \ quad \ text { nếu } x \ geq 0 \ \ – x và \ quad \ text { nếu } x < 0 \ end { cases } $ $ nếu vẽ đồ thị của hàm số y = | x |, bạn sẽ thấy rõ hơn ,

Cho nên, chúng ta không thể thay trực tiếp $\Delta x = 0$ vào (1) để tính được, chúng ta cần biến đổi thành một dạng khác để mẫu khác 0 khi thay $\Delta x = 0$ vào là được, có nhiều cách làm, mình sẽ làm như sau,

Thứ nhất, đưa phương trình về dạng căn của bình phương, do tại tất cả chúng ta biết rằng $ | x | = \ sqrt { x ^ 2 } $ ,
USD USD ( 1 ) \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } – \ sqrt { x ^ 2 } } { \ Delta x } $ $
Thứ hai, nhân tử và mẫu cho $ \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } $ mục tiêu để khử trường hợp mẫu bằng 0 ,
USD $ \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } – \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) } { \ Delta x \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) } $ $

Tới đây, bạn có thể tính toán nhân chia cộng trừ bình thường được rồi, mình sẽ tiếp tục,

USD $ \ begin { align } và \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { ( x + \ Delta x ) ^ 2 + x ^ 2 ( x + \ Delta x ) ^ 2 – x ^ 2 ( x + \ Delta x ) ^ 2 – x ^ 2 } { \ Delta x \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) } \ \ và \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { ( x + \ Delta x ) ^ 2 – x ^ 2 } { \ Delta x \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) } \ \ và \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { x ^ 2 + 2 x \ Delta x + \ Delta x ^ 2 – x ^ 2 } { \ Delta x \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) } \ \ và \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { 2 x \ Delta x + \ Delta x ^ 2 } { \ Delta x \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) } \ \ và \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ left ( \ frac { 2 x \ Delta x } { \ Delta x \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) } + \ frac { \ Delta x ^ 2 } { \ Delta x \ left ( \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } \ right ) } \ right ) \ \ và \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ left ( \ frac { 2 x } { \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } } + \ frac { \ Delta x } { \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } } \ right ) \ \ và \ Leftrightarrow \ lim_ { \ Delta x \ to 0 } \ frac { 2 x + \ Delta x } { \ sqrt { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } } \ hspace { 1 cm } ( 2 ) \ end { align } $ $
Vì $ \ Delta x USD tiến tới 0, và sau một hồi đổi khác, bạn hoàn toàn có thể thay $ \ Delta x = 0 $ vào ( 2 ), ta được ,
USD $ \ begin { align } và = \ frac { 2 x } { \ sqrt { x ^ 2 } + \ sqrt { x ^ 2 } } \ \ và = \ frac { 2 x } { 2 \ sqrt { x ^ 2 } } \ \ và = \ frac { x } { \ sqrt { x ^ 2 } } \ \ và = \ frac { x } { | x | } \ end { align } $ $