VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 9 bài viết Hình nón, hình nón cụt, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 9.
Nội dung bài viết Hình nón, hình nón cụt, diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Mô tả hình nón +) Đáy của hình nón là hình tròn (O); +) SA là một đường sinh; +) S là đỉnh, SO là đường cao. S O A B r h l Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón Sxq = πrl Stp = πrl + πr2 (r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón). Thể tích hình nón V = 1 3 πr2h (h là chiều cao). Hình nón cụt Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hình nón là một hình tròn. Phần hình tròn nằm giữa mặt phẳng nói trên và đáy là một hình nón cụt. O A B A0 B0 O0 Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón cụt Sxq = π(R + r)l Stp = π(R + r)l + πR2 + πr2 R, r lần lượt là bán kính hai đáy, l là độ dài đường sinh của hình nón cụt). Thể tích hình nón cụt: V = π 3 h(R 2 + r 2 + Rr) (h là đường cao của hình nón cụt). 4! Hình khai triển mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. 4! Một hình nón được xác định khi biết 2 trong 3 yếu tố: bán kính đáy, chiều cao, đường sinh. B CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ 1. Một hình nón có bán kính đáy bằng r, diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính theo r 1 Diện tích xung quanh của hình nón; 2 Thể tích của hình nón.
LỜI GIẢI. 1 Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên πrl = 2πr2 suy ra l = 2r. Vậy πrl = πr · 2r = 2πr2. Diện tích xung quanh bằng 2πr2. 2 Xét tam giác SOA vuông tại O, ta có h 2 = l 2 − r 2 = (2r) 2 − r 2 = 3r 2 nên h = r √3. Thể tích hình nón bằng V = 1 3 πr2h = 1 3 πr2 · r √3 = πr3 √3 3. S O A B r h l VÍ DỤ 2. Một hình nón có bán kính đáy bằng r, đường sinh bằng l. Khai triển mặt xung quanh hình nón ta được một hình quạt. Tính số đo cung của hình quạt theo r và l. LỜI GIẢI. Khi cắtmặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Khi đó bán kính hình quạt tròn SBC bằng độ dài đường sinh SB = l và độ dài BC˜ bằng chu vi đáy. Độ dài BC˜ của hình quạt bằng chu vi đáy của hình nón bằng 2πr. Độ dài đường tròn (S; SA) bằng 2πl. Ta có Squạt = 2π · l 2 · n 360 = l · 2π · r ⇒ 2π · l 2 · n 360 = l · 2π · r ⇒ l · n 360 = r. Do đó, số đo cung AB của hình quạt là n ◦ = 360◦ · 2πr 2πl = 360◦ · r l. S O A B C r l VÍ DỤ 3. Một hình nón cụt có các bán kính đáy bằng a và 2a, chiều cao bằng a. 1 Tính diện tích xung quanh của hình nón cụt; 2 Tính thể tích của hình nón cụt. LỜI GIẢI. 1 Trong mặt phẳng OABO0, kẻ AH ⊥ O0B. Ta có O0H = OA = a nên HB = a. Tam giác AHB vuông cân nên AB = HB√2 = a √2. Ta có Sxq = π(r1 + r2)l = π(a + 2a) · a √2 = 3πa2 √2. 2 Tính thể tích của hình nón cụt: V = 1 3 πa[a 2 + (2a) 2 + a · 2a] = 7 3 πa3. O0 B A O H a 2a VÍ DỤ 4. Một hình nón có bán kính đáy bằng 20 cm, số đo thể tích (tính bằng cm2) bằng bốn lần số đo diện tích xung quanh (tính bằng cm2). Tính chiều cao của hình nón.
LỜI GIẢI. Gọi h là chiều cao của hình nón. Thể tích của hình nón bằng V = 1 3 π · 202 · h = 400 3 πh. Đường sinh SA bằng √h 2 + 202. Diện tích xung quanh của hình nón bằng Sxq = π · 20√h 2 + 400. Do V = 4Sxq nên 400 3 πh = 4 · 20π √h 2 + 400 ⇔ 5h = 3√h 2 + 400 ⇔ 25h 2 = 9(h 2 + 400) ⇔ h 2 = 225 ⇔ h = 15. Vậy chiều cao của hình nón bằng 15 cm S O A B 20 h VÍ DỤ 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 10 cm, đường cao AH = 4 cm. Quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC. Tính thể tích hình tạo thành. LỜI GIẢI. Khi quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh BC, hình tạo thành gồm hai hình nón có đường cao theo thứ tự là HB và HC. Thể tích của hình tạo thành bằng 1 3 π · AH2 · BH + 1 3 π · AH2 · CH = 1 3 π · AH2 (BH + CH) = 1 3 π · AH2 · BC = 1 3 π · 4 2 · 10 = 160 3 π(cm3). A M C H B 4 10 VÍ DỤ 6. Cho tam giác ABC vuông cân, Ab = 90◦, BC = 3√2 cm. Quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh góc vuông AB cố định. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình tạo thành. LỜI GIẢI. Quay tam giác vuông cân ABC một vòng quanh cạnh góc vuông AB cố định, ta được hình nón đỉnh B, đường sinh BC, bán kính đường tròn đáy là AC.
Tam giác ABC vuông cân tại A, theo định lý Pitago ta có AB2 + AC2 = BC2 hay 2AC2 = (3√2)2 = 18, suy ra AC2 = 9, do đó AC = 3 (cm). Diện tích xung quanh của nón là Sxq = π ·AC ·BC = π · 3 · 3 √2 = 9 √2π ≈ 39, 85 (cm2). Thể tích hình nón là V = 1 3 AC2 ·AB = 1 3 ·AC3 = 1 3 ·3 3 = 9 (cm3). B A C M 3 √2 C LUYỆN TẬP BÀI 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, B = 60◦ và BC = 2a (đơn vị độ dài). Quay xung quanh tam giác một vòng quanh cạnh huyền BC. Tìm diện tích xung quanh và thể tích hình tạo thành. LỜI GIẢI. Khi quay tam giác vuông ABC một vòng xung quanh cạnh huyền BC, ta được hai hình nón có các đáy úp vào nhau, bán kính đường tròn đáy bằng đường cao AH kẻ từ A đến cạnh huyền BC. Ta có AH = a √3 2 (đơn vị độ dài). Diện tích xung quanh hình tạo thành là S = π · AH(AB + AC) = πa2 (3 + √3) 2 (đơn vị diện tích). Thể tích hình tạo thành là V = 1 3 π·AH2 ·BC = πa3 2 (đơn vị thể tích). A M C H B 2a 60 ◦ BÀI 2. Một hình nón có bán kính đáy bằng 7 cm, chiều cao bằng 24 cm. 1 Tính số đo cung hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón; 2 Tính diện tích toàn phần của hình nón; 3 Tính thể tích của hình nón. LỜI GIẢI. 1 Đường sinh bằng l = 25 cm. Số đo cung của hình quạt là n ◦ = 360◦ · r l = 360◦ · 7 25 = 100, 8 ◦. 2 Diện tích toàn phần của hình nón Stp = πrl + πr2 = πr(l + r) = 224π. 3 Tính thể tích của hình nón V = 1 3 πr2h = 1 3 · π · 7 2 · 27 = 392π. S O A B 7 24.
